Разложение Холецкого — мощный численный метод, используемый в линейной алгебре для разложения положительно определенной матрицы в произведение нижней треугольной матрицы и ее сопряженного транспонирования. Это разложение имеет различные применения в таких областях, как оптимизация, статистика и численный анализ. В этой статье блога мы углубимся в концепцию декомпозиции Холецкого и рассмотрим различные методы вместе с примерами кода.

Метод 1. Использование библиотеки numpy в Python.
Numpy – это популярная библиотека числовых вычислений в Python, обеспечивающая эффективную реализацию операций линейной алгебры, включая разложение Холецкого.

import numpy as np
# Define a positive definite matrix
A = np.array([[4, 12, -16], [12, 37, -43], [-16, -43, 98]])
# Perform Cholesky decomposition
L = np.linalg.cholesky(A)
print(L)

Метод 2. Использование библиотеки Eigen в C++
Eigen — это библиотека шаблонов C++ для линейной алгебры, обеспечивающая реализацию разложения Холецкого.

#include <iostream>
#include <Eigen/Dense>
int main() {
    Eigen::MatrixXd A(3, 3);
    A << 4, 12, -16,
         12, 37, -43,
         -16, -43, 98;
    Eigen::LLT<Eigen::MatrixXd> llt(A);
    Eigen::MatrixXd L = llt.matrixL();
    std::cout << L << std::endl;
    return 0;
}

Метод 3. Использование библиотеки LAPACK на языке Фортран
LAPACK (Пакет линейной алгебры) — это программная библиотека для числовых операций линейной алгебры, включающая разложение Холецкого.

program cholesky_example
    implicit none
    integer, parameter :: dp = kind(0.0d0)
    integer, parameter :: n = 3
    real(dp) :: A(n, n), L(n, n)
    integer :: info
    A = reshape([4, 12, -16, 12, 37, -43, -16, -43, 98], [n, n])
    call dpotrf('L', n, A, n, info)
    L = A
    write(*,*) L
end program cholesky_example