Цифровая обработка сигналов (DSP) играет жизненно важную роль в различных областях, включая телекоммуникации, обработку звука, обработку изображений и многое другое. Одной из фундаментальных концепций DSP является рекурсивная фильтрация, которая предполагает применение фильтра к сигналу с использованием рекурсивного уравнения. В этой статье мы рассмотрим различные методы реализации рекурсивных фильтров, используя разговорный язык и попутно предоставляя примеры кода.

Методы рекурсивной фильтрации:

1. Прямая форма I:
   Прямая форма I — это простой метод реализации рекурсивных фильтров. Он предполагает применение рекурсивного уравнения непосредственно к входному сигналу. Вот пример фрагмента кода на Python:

def recursive_filter_direct_form_I(x, b, a):
    y = []
    for n in range(len(x)):
        y_n = b[0] * x[n]
        for i in range(1, len(b)):
            y_n += b[i] * x[n - i] - a[i] * y[n - i]
        y.append(y_n)
    return y

2. Прямая форма II:
   Прямая форма II — еще один широко используемый метод рекурсивной фильтрации. Он перестраивает рекурсивное уравнение, чтобы уменьшить количество умножений. Вот пример фрагмента кода на Python:

def recursive_filter_direct_form_II(x, b, a):
    y = []
    w = [0] * (len(b) - 1)
    for n in range(len(x)):
        y_n = b[0] * x[n] + w[0]
        for i in range(1, len(b)):
            w[i - 1] = b[i] * x[n] - a[i] * y_n + w[i]
            y_n += w[i]
        y.append(y_n)
    return y

3. Каскадные секции второго порядка.
   Для более сложных рекурсивных фильтров популярным методом является каскадирование секций второго порядка (SOS). Он включает в себя разбиение фильтра на более мелкие секции второго порядка и их последовательное применение. Вот пример фрагмента кода на Python:

def recursive_filter_cascaded_sos(x, sos):
    y = []
    for n in range(len(x)):
        y_n = x[n]
        for section in sos:
            b, a = section
            for i in range(len(b)):
                y_n -= a[i] * y[n - i]
            for i in range(1, len(b)):
                y_n += b[i] * x[n - i]
        y.append(y_n)
    return y

4. Проектирование фильтра с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ).
   Проектирование БИХ-фильтра включает определение коэффициентов рекурсивного уравнения на основе желаемых характеристик фильтра. Доступны различные методы проектирования, такие как фильтры Баттерворта, Чебышева и эллиптические фильтры. Вот пример фрагмента кода на Python с использованием библиотеки SciPy:

from scipy.signal import butter, filtfilt
def recursive_filter_iir(x, fs, cutoff_freq, filter_type='lowpass', order=4):
    nyquist_freq = 0.5 * fs
    normal_cutoff_freq = cutoff_freq / nyquist_freq
    b, a = butter(order, normal_cutoff_freq, btype=filter_type, analog=False)
    y = filtfilt(b, a, x)
    return y

В этой статье мы рассмотрели различные методы реализации рекурсивных фильтров в цифровой обработке сигналов. Мы рассмотрели методы Direct Form I и Direct Form II, подход каскадных секций второго порядка и конструкцию БИХ-фильтра. Каждый метод имеет свои преимущества и подходит для различных применений. Понимая эти методы и экспериментируя с ними, вы сможете овладеть рекурсивной фильтрацией и улучшить свои навыки DSP.