В квантовой механике концепция частичного следа играет решающую роль при изучении поведения сложных систем. Это позволяет нам исследовать свойства подсистемы, «отслеживая» степени свободы, связанные с другими подсистемами. В этой статье мы углубимся в концепцию частичной трассировки и рассмотрим различные методы на практических примерах кода.

Понимание частичной трассировки.
Операция частичной трассировки определена для составной системы, состоящей из нескольких подсистем. Когда мы отслеживаем подсистему, мы фактически игнорируем ее вклад и сосредотачиваемся исключительно на оставшихся подсистемах. Математически для квантового состояния, представленного матрицей плотности, частичный след по подсистеме A обозначается как Tr_A(ρ).

Метод 1: прямой расчет
Один из способов вычисления частичного следа — явное вычисление следа по формуле:

import numpy as np
def partial_trace(rho, subsystems_to_trace):
    num_subsystems = len(rho.shape)
    subsystems_to_keep = [i for i in range(num_subsystems) if i not in subsystems_to_trace]
    trace_axes = tuple(np.arange(num_subsystems)[subsystems_to_trace])
    keep_axes = tuple(np.arange(num_subsystems)[subsystems_to_keep])
    partial_trace = np.trace(rho, axis1=trace_axes, axis2=trace_axes)
    reshaped_trace = np.moveaxis(partial_trace, keep_axes, np.arange(len(subsystems_to_keep)))
    return reshaped_trace

Метод 2: подход тензорной сети
Еще один мощный подход к вычислению частичной трассировки — использование библиотек тензорной сети, таких как TensorFlow или PyTorch. Эти библиотеки предоставляют эффективные методы обработки крупномасштабных тензорных вычислений, что делает их идеальными для задач квантовой информации.

import torch
import tensornetwork as tn
def partial_trace(rho, subsystems_to_trace):
    rho_tensor = tn.Node(rho, backend="pytorch")
    subsystems = [i for i in range(len(rho.shape))]
    subsystems_to_keep = [i for i in subsystems if i not in subsystems_to_trace]
    for subsystem in subsystems_to_trace:
        rho_tensor.contract_between(subsystem, subsystems_to_keep)
    return rho_tensor.tensor
# Example usage:
rho = torch.tensor([[0.5, 0.5], [0.5, 0.5]])
subsystems_to_trace = [1]
partial_trace_result = partial_trace(rho, subsystems_to_trace)

Метод 3: использование Qiskit
Если вы работаете с квантовыми схемами, Qiskit предоставляет удобный метод выполнения операций частичной трассировки.

from qiskit import QuantumCircuit, execute, Aer
def partial_trace(rho, subsystems_to_trace):
    backend = Aer.get_backend('statevector_simulator')
    qreg = QuantumRegister(rho.num_qubits, 'q')
    qc = QuantumCircuit(qreg)
    qc.initialize(rho.data, qreg)
    qc.barrier(qreg)
    qc.measure_all()
    job = execute(qc, backend)
    result = job.result()
    counts = result.get_counts(qc)
    return counts
# Example usage:
rho = QuantumCircuit(2)
subsystems_to_trace = [1]
partial_trace_result = partial_trace(rho, subsystems_to_trace)

В этой статье мы исследовали различные методы вычисления операции частичного следа в квантовой механике. Мы обсудили прямые вычисления, подходы тензорных сетей с использованием таких библиотек, как TensorFlow или PyTorch, а также использование Qiskit для выполнения операций частичной трассировки в квантовых схемах. Эти методы предоставляют гибкие и эффективные способы анализа и понимания поведения составных квантовых систем.