В увлекательном мире теории групп выделяется одна концепция — нормальные подгруппы. Нормальная подгруппа с индексом 2 имеет особое значение и открывает мир интересных возможностей. В этой статье мы рассмотрим, что означает, что подгруппа является нормальной, обсудим различные методы определения нормальных подгрупп и предоставим примеры кода, чтобы укрепить наше понимание.

Что такое обычная подгруппа?
Прежде чем углубляться в детали, давайте кратко вспомним, что такое подгруппа. В теории групп подгруппа — это подмножество более крупной группы, которое само образует группу при выполнении той же операции. Итак, что делает подгруппу «нормальной»? Подгруппа H группы G считается нормальной тогда и только тогда, когда gH = Hg для всех g в G. Другими словами, нормальная подгруппа — это та подгруппа, которая инвариантна относительно сопряжения элементами большей группы.

Метод 1: проверка нормальности с использованием смежных классов
Одним из распространенных методов определения того, является ли подгруппа индекса 2 нормальной, является проверка левых смежных классов подгруппы. Давайте проиллюстрируем это примером. Рассмотрим группу G и подгруппу H индекса 2. Мы можем проверить, является ли H нормальной, проверив, равны ли левые смежные классы правым смежным классам. Если Hg = gH для всех g в G, то H нормальный.

# Python code example
def is_normal_subgroup(group, subgroup):
    for element in group:
        left_coset = [element * h for h in subgroup]
        right_coset = [h * element for h in subgroup]
        if sorted(left_coset) != sorted(right_coset):
            return False
    return True
# Usage
group = [1, 2, 3, 4, 5, 6]
subgroup = [1, 2]
print(is_normal_subgroup(group, subgroup))  # Output: True

Метод 2: использование индекса подгруппы.
Другой метод определения того, является ли подгруппа с индексом 2 нормальной, заключается в использовании теоремы Лагранжа. Согласно теореме, если индекс подгруппы делит порядок группы поровну, то подгруппа нормальна. В нашем случае, если индекс подгруппы H равен 2, а порядок группы G четный, то H нормальна.

# Python code example
def is_normal_subgroup(index, group_order):
    return group_order % index == 0
# Usage
index = 2
group_order = 6
print(is_normal_subgroup(index, group_order))  # Output: True

Метод 3: изучение подгруппы-коммутатора группы
Подгруппа-коммутатор, обозначаемая [G, G], играет важную роль в определении нормальных подгрупп. Если подгруппа H содержится внутри коммутанта [G, G], то H заведомо нормальна.

# Python code example
def is_normal_subgroup(commutator_subgroup, subgroup):
    return all(element in commutator_subgroup for element in subgroup)
# Usage
commutator_subgroup = [1, 2, 3]
subgroup = [1, 2]
print(is_normal_subgroup(commutator_subgroup, subgroup))  # Output: True

В этой статье мы исследовали концепцию нормальных подгрупп, уделив особое внимание подгруппам индекса 2. Мы обсудили различные методы идентификации нормальных подгрупп, включая проверку левых и правых смежных классов, использование индекса подгруппы и изучение подгруппа коммутатора. Используя эти методы, вы можете определить, является ли подгруппа с индексом 2 нормальной в данной группе. Теория групп предлагает богатый ландшафт математических структур, и понимание нормальных подгрупп является решающим шагом в раскрытии их удивительных свойств.