Вычисление среднего значения и дисперсии случайных величин: объяснение

Чтобы найти среднее значение и дисперсию случайной величины с помощью функции плотности вероятности (PDF), вы можете использовать несколько методов. Вот несколько часто используемых методов:

  1. Метод 1: прямой расчет

    • Если PDF задан явно, вы можете рассчитать среднее значение и дисперсию напрямую, используя формулы для непрерывных случайных величин.
    • Среднее значение (μ) рассчитывается как интеграл x, умноженный на PDF, по всему диапазону случайной величины.
    • Дисперсия (σ^2) рассчитывается как интеграл от (x – μ)^2, умноженного на PDF по диапазону случайной величины.

  2. Метод 2: функция, генерирующая момент (MGF)

    • Функция, генерирующая момент, может использоваться для нахождения моментов случайной величины.
    • Среднее значение (μ) — это первая производная производящей функции момента, равная нулю.
    • Дисперсия (σ^2) — это вторая производная производящей функции момента, оцененная как ноль минус квадрат среднего значения.

  3. Метод 3: характеристическая функция

    • Характеристическая функция – еще один инструмент для нахождения моментов случайной величины.
    • Среднее значение (μ) — это первая производная характеристической функции, оцененная по нулю.
    • Дисперсия (σ^2) — это отрицательная вторая производная характеристической функции, оцененная как ноль, плюс квадрат среднего значения.

  4. Метод 4: метод моментов

    • Метод моментов предполагает вычисление моментов случайной величины непосредственно из PDF-файла.
    • Среднее значение (μ) — это первый момент, а дисперсия (σ^2) — это второй центральный момент минус квадрат среднего значения.

  5. Метод 5: Генерирующая функция

    • Некоторые случайные величины имеют производящие функции, с помощью которых можно найти их моменты.
    • Среднее значение (μ) можно получить путем дифференцирования производящей функции и оценки ее по определенному значению.
    • Дисперсия (σ^2) может быть найдена путем дифференцирования производящей функции дважды и оценки ее определенного значения.

Иными словами, вы можете найти среднее значение и дисперсию случайной величины с заданным PDF-файлом, используя такие методы, как прямой расчет, производящая функция момента, характеристическая функция, метод момента или производящая функция.