Сортировка — фундаментальная операция в информатике, и за прошедшие годы было разработано множество алгоритмов сортировки. Одним из важных соображений при анализе алгоритмов сортировки является количество выполняемых ими сравнений. В этой статье мы рассмотрим различные методы сортировки на основе сравнений, приведем примеры кода и обсудим самую точную нижнюю границу количества сравнений в худшем случае.

Алгоритмы сортировки на основе сравнения:

1. Пузырьковая сортировка.
   Пузырьковая сортировка — это простой алгоритм сортировки на основе сравнения, который неоднократно меняет местами соседние элементы, если они расположены в неправильном порядке. Самый большой элемент «всплывает» в конец списка на каждой итерации. Вот пример реализации на Python:

def bubble_sort(arr):
    n = len(arr)
    for i in range(n-1):
        for j in range(n-i-1):
            if arr[j] > arr[j+1]:
                arr[j], arr[j+1] = arr[j+1], arr[j]
    return arr

2. Сортировка вставками.
   Сортировка вставками создает окончательный отсортированный массив по одному элементу за раз. Он перебирает массив, сравнивая каждый элемент с предыдущими и сдвигая их, пока не будет найдена правильная позиция. Вот пример реализации на Python:

def insertion_sort(arr):
    for i in range(1, len(arr)):
        key = arr[i]
        j = i - 1
        while j >= 0 and arr[j] > key:
            arr[j + 1] = arr[j]
            j -= 1
        arr[j + 1] = key
    return arr

3. Быстрая сортировка.
   Быстрая сортировка – это широко используемый алгоритм сортировки на основе сравнения, основанный на подходе “разделяй и властвуй”. Он выбирает опорный элемент и делит массив на два подмассива: один с элементами меньше опорного, а другой с элементами больше опорного. Этот процесс рекурсивно применяется к подмассивам. Вот пример реализации на Python:

def quick_sort(arr):
    if len(arr) <= 1:
        return arr
    pivot = arr[len(arr) // 2]
    left = [x for x in arr if x < pivot]
    middle = [x for x in arr if x == pivot]
    right = [x for x in arr if x > pivot]
    return quick_sort(left) + middle + quick_sort(right)

4. Сортировка слиянием.
   Сортировка слиянием — еще один эффективный алгоритм сортировки на основе сравнения, который также использует подход “разделяй и властвуй”. Он делит массив на две половины, сортирует их независимо, а затем объединяет отсортированные половины. Вот пример реализации на Python:

def merge_sort(arr):
    if len(arr) <= 1:
        return arr
    mid = len(arr) // 2
    left = arr[:mid]
    right = arr[mid:]
    return merge(merge_sort(left), merge_sort(right))
def merge(left, right):
    result = []
    i = j = 0
    while i < len(left) and j < len(right):
        if left[i] < right[j]:
            result.append(left[i])
            i += 1
        else:
            result.append(right[j])
            j += 1
    result.extend(left[i:])
    result.extend(right[j:])
    return result

Нижняя граница сравнений:
Самая точная нижняя граница количества сравнений в худшем случае для алгоритмов сортировки на основе сравнений равна n * log(n), где n — количество элементов, подлежащих сортировке.. Эта нижняя граница известна как нижняя граница теории информации. Она предполагает, что любой алгоритм сортировки на основе сравнений должен выполнить как минимум такое количество сравнений для сортировки заданного списка.

В этой статье мы рассмотрели несколько популярных алгоритмов сортировки на основе сравнения, включая пузырьковую сортировку, сортировку вставками, быструю сортировку и сортировку слиянием. Мы предоставили примеры кода для каждого алгоритма и обсудили самую точную нижнюю границу количества сравнений в худшем случае. Понимание этих алгоритмов и их нижних границ может помочь выбрать наиболее подходящий алгоритм сортировки для различных сценариев.