Когда дело доходит до алгоритмов обхода графа, поиск в глубину (DFS) является популярным выбором благодаря своей простоте и универсальности. Однако понимание временной сложности иногда может оказаться непростой задачей. В этой статье блога мы углубимся во временную сложность DFS, объяснив ее простым языком и попутно приведя примеры кода. Итак, начнём!

Что такое поиск в глубину?
Поиск в глубину — это алгоритм обхода графа, который исследует как можно дальше вдоль каждой ветви перед возвратом. Он начинается с заданной вершины и посещает все достижимые из нее вершины, отмечая каждую посещенную вершину, чтобы избежать ее повторного посещения. DFS можно реализовать с помощью рекурсии или явного стека.

Анализ временной сложности.
Чтобы понять временную сложность DFS, нам необходимо учитывать два фактора: количество вершин (n) и количество ребер (m) в графе.

1. Представление списка смежности:
   В представлении списка смежности граф представлен как массив связанных списков. Обозначим количество вершин за n, а количество ребер за m. Для каждой вершины мы обходим соседние с ней вершины. Следовательно, временная сложность DFS в этом представлении равна O(n + m).

Вот фрагмент кода, иллюстрирующий использование DFS со списком смежности:

def dfs(graph, start):
    visited = set()
    stack = [start]
    while stack:
        vertex = stack.pop()
        if vertex not in visited:
            visited.add(vertex)
            stack.extend(graph[vertex] - visited)
    return visited

2. Представление матрицы смежности:
   В представлении матрицы смежности граф представлен в виде двумерной матрицы. Временная сложность DFS в этом представлении равна O(n^2), поскольку нам нужно перебрать все вершины, чтобы проверить их соединения.

Вот фрагмент кода, иллюстрирующий использование DFS с матрицей смежности:

def dfs(graph, start):
    visited = set()
    stack = [start]
    n = len(graph)
    while stack:
        vertex = stack.pop()
        if vertex not in visited:
            visited.add(vertex)
            for i in range(n):
                if graph[vertex][i] and i not in visited:
                    stack.append(i)
    return visited

В заключение, временная сложность поиска в глубину зависит от представления графа. В представлении списка смежности временная сложность равна O(n + m), а в представлении матрицы смежности — O(n^2). Понимание временной сложности DFS имеет решающее значение для оценки ее эффективности и пригодности для решения конкретных задач обхода графа.

Итак, в следующий раз, когда вы столкнетесь с проблемой обхода графа, не забудьте принять во внимание временную сложность поиска в глубину и выбрать подходящее представление для достижения наилучшей производительности.