Исключение Гаусса — популярный численный метод, используемый в линейной алгебре для решения систем линейных уравнений. В этой статье блога мы рассмотрим различные эффективные методы реализации исключения Гаусса в Python с использованием мощной библиотеки NumPy. Каждый метод будет сопровождаться примерами кода, иллюстрирующими его использование и демонстрирующими его эффективность. К концу этой статьи вы получите четкое представление о различных методах исключения Гаусса и сможете выбрать наиболее подходящий для ваших конкретных нужд.

Методы:

1. Наивное исключение Гаусса:

   • Описание: простейшая форма исключения Гаусса, также известная как алгоритм исключения Гаусса.

   • Пример кода:

     import numpy as np
     
     def gauss_elimination(A, b):
      n = len(b)
      for k in range(n-1):
          for i in range(k+1, n):
              factor = A[i, k] / A[k, k]
              A[i, k+1:] -= factor * A[k, k+1:]
              b[i] -= factor * b[k]
      x = np.zeros(n)
      for k in range(n-1, -1, -1):
          x[k] = (b[k] - np.dot(A[k, k+1:], x[k+1:])) / A[k, k]
      return x

2. Частичное вращение:

   • Описание: модификация простого метода исключения Гаусса, которая помогает предотвратить деление на ноль и уменьшает числовые ошибки.

   • Пример кода:

     import numpy as np
     
     def partial_pivot(A, b):
      n = len(b)
      for k in range(n-1):
          if np.abs(A[k, k]) < 1e-15:
              max_index = np.argmax(np.abs(A[k+1:, k])) + k + 1
              A[[k, max_index]] = A[[max_index, k]]
              b[[k, max_index]] = b[[max_index, k]]
          for i in range(k+1, n):
              factor = A[i, k] / A[k, k]
              A[i, k+1:] -= factor * A[k, k+1:]
              b[i] -= factor * b[k]
      x = np.zeros(n)
      for k in range(n-1, -1, -1):
          x[k] = (b[k] - np.dot(A[k, k+1:], x[k+1:])) / A[k, k]
      return x

3. Полный поворот:

   • Описание: расширенная версия метода исключения Гаусса, которая выполняет замену строк и столбцов для достижения числовой стабильности.

   • Пример кода:

     import numpy as np
     
     def complete_pivot(A, b):
      n = len(b)
      rows = np.arange(n)
      cols = np.arange(n)
      for k in range(n-1):
          pivot = np.argmax(np.abs(A[rows[k:, k:, ]]))  # Find the maximum element for complete pivot
          pivot_row, pivot_col = np.unravel_index(pivot, (n-k, n-k))
          pivot_row += k
          pivot_col += k
          A[[k, pivot_row]] = A[[pivot_row, k]]
          A[:, [k, pivot_col]] = A[:, [pivot_col, k]]
          b[[k, pivot_row]] = b[[pivot_row, k]]
          rows[[k, pivot_row]] = rows[[pivot_row, k]]
          cols[[k, pivot_col]] = cols[[pivot_col, k]]
          for i in range(k+1, n):
              factor = A[i, k] / A[k, k]
              A[i, k+1:] -= factor * A[k, k+1:]
              b[i] -= factor * b[k]
      x = np.zeros(n)
      for k in range(n-1, -1, -1):
          x[k] = (b[k] - np.dot(A[k, k+1:], x[k+1:])) / A[k, k]
      return x