«Гиперболические тригонометрические тождества» — это английский перевод предоставленной вами фразы. Гиперболические тригонометрические функции являются аналогами обычных тригонометрических функций, но они определяются с использованием гиперболы вместо единичного круга. Вот некоторые распространенные гиперболические тригонометрические тождества:

1. Гиперболический синус (синх) Тождества:

   • sinh(-x) = -sinh(x)
   • sinh(x + y) = sinh(x)cosh(y) + cosh(x)sinh(y)
   • sinh(2x) = 2sinh(x)cosh(x)

2. Гиперболический косинус (cosh) Тождества:

   • cosh(-x) = cosh(x)
   • cosh(x + y) = cosh(x)cosh(y) + sinh(x)sinh(y)
   • cosh(2x) = cosh^2(x) + sinh^2(x)

3. Тождества гиперболического тангенса (тан):

   • tanh(-x) = -tanh(x)
   • tanh(x + y) = (tanh(x) + tanh(y))/(1 + tanh(x)tanh(y))
   • tanh(2x) = (2tanh(x))/(1 + tanh^2(x))

4. Другие личности:

   • cosh^2(x) – sinh^2(x) = 1
   • sech(x) = 1/cosh(x)
   • csch(x) = 1/sinh(x)
   • coth(x) = 1/tanh(x)

Эти тождества можно использовать для упрощения гиперболических тригонометрических выражений, решения гиперболических тригонометрических уравнений и манипулирования гиперболическими функциями в различных математических контекстах.