Привет, уважаемые любители программирования! Сегодня мы собираемся погрузиться в мир теории графов и изучить алгоритм Флойда-Уоршалла с использованием старого доброго C++. Пристегивайтесь, берите любимый напиток и отправляемся вместе в это увлекательное путешествие!

Алгоритм Флойда-Уоршалла — это мощный метод, используемый для поиска кратчайших путей между всеми парами вершин взвешенного графа. Это особенно удобно, когда вам нужно определить оптимальный маршрут между любыми двумя точками в сети, например найти кратчайший путь между городами в дорожной сети.

Чтобы лучше понять алгоритм, начнем с простого примера. Рассмотрим граф с n вершинами и m ребрами. Мы представим граф с помощью матрицы смежности, где каждая ячейка (i, j) содержит вес ребра между вершинами i и j. Если между двумя вершинами нет прямого ребра, мы можем использовать специальное значение, например бесконечность, чтобы указать отсутствие соединения.

Теперь давайте перейдем к коду и посмотрим, как можно реализовать алгоритм Флойда-Уоршалла на C++!

#include <iostream>
#include <vector>
#define INF 99999 // Infinity value
void floydWarshall(int graph[][V], int V) {
    std::vector<std::vector<int>> dist(V, std::vector<int>(V));
    // Initialize the distance matrix with the graph values
    for (int i = 0; i < V; ++i) {
        for (int j = 0; j < V; ++j) {
            dist[i][j] = graph[i][j];
        }
    }
// Main algorithm loop
    for (int k = 0; k < V; ++k) {
        for (int i = 0; i < V; ++i) {
            for (int j = 0; j < V; ++j) {
                // Check if path i->k->j is shorter than i->j
                if (dist[i][k] + dist[k][j] < dist[i][j]) {
                    dist[i][j] = dist[i][k] + dist[k][j];
                }
            }
        }
    }
// Display the shortest distances between all pairs of vertices
    for (int i = 0; i < V; ++i) {
        for (int j = 0; j < V; ++j) {
            if (dist[i][j] == INF) {
                std::cout << "INF ";
            } else {
                std::cout << dist[i][j] << " ";
            }
        }
        std::cout << std::endl;
    }
}
int main() {
    int V = 4; // Number of vertices in the graph
    int graph[V][V] = {
        {0, 5, INF, 10},
        {INF, 0, 3, INF},
        {INF, INF, 0, 1},
        {INF, INF, INF, 0}
    };
    floydWarshall(graph, V);
    return 0;
}

В этом фрагменте кода мы определяем функцию floydWarshall, которая принимает граф, представленный матрицей смежности, и количество вершин V. Мы инициализируем матрицу distдля хранения кратчайших расстояний между всеми парами вершин.

Алгоритм состоит из трех вложенных циклов. Самый внешний цикл перебирает все вершины, средний цикл перебирает все возможные начальные вершины, а самый внутренний цикл перебирает все возможные конечные вершины. Мы проверяем, короче ли путь от iдо kи от jтекущего расстояния от iдо j. Если это так, мы соответствующим образом обновляем расстояние.

Наконец, мы отображаем кратчайшие расстояния между всеми парами вершин. Если расстояние по-прежнему равно INF, это означает, что между соответствующими вершинами нет пути.

И вуаля! Вы только что реализовали алгоритм Флойда-Уоршалла на C++. Похвалите себя за это потрясающее достижение!

Подводя итог, мы изучили алгоритм Флойда-Уоршалла — фантастический инструмент для поиска кратчайших путей для всех пар в графе. Используя динамическое программирование и умелое обновление расстояний, он эффективно решает возникшую проблему. Итак, экспериментируйте с различными графиками и посмотрите, как работает этот алгоритм!

Теперь, когда вы вооружены этими новыми знаниями, вы можете уверенно решать различные задачи, связанные с кратчайшими путями. Приятного кодирования!