Если вы когда-либо работали с анализом данных или аппроксимацией кривых в Python, вы, вероятно, знаете, насколько важно учитывать ошибки. В этой статье блога мы погрузимся в мир аппроксимации полиномиальной кривой с обработкой ошибок в Python. Мы рассмотрим различные методы и приемы сопоставления полиномов с данными, принимая во внимание неопределенности или ошибки, связанные с точками данных. Итак, начнём!

Метод 1: Polyfit() в Numpy с использованием взвешенных наименьших квадратов
Один из самых популярных методов аппроксимации полиномиальной кривой в Python — использование функции polyfit() из библиотеки NumPy. По умолчанию функция Polyfit() выполняет подгонку по методу наименьших квадратов, что минимизирует сумму квадратов остатков. Однако для учета ошибок мы можем использовать взвешенный метод наименьших квадратов, где каждой точке данных присваивается вес, основанный на ее неопределенности.

import numpy as np
x = [1, 2, 3, 4, 5]
y = [2, 4, 7, 9, 12]
errors = [0.5, 0.3, 0.2, 0.4, 0.6]
weights = 1 / np.array(errors)  # Inverse of errors as weights
coefficients = np.polyfit(x, y, deg=2, w=weights)
print("Polynomial Coefficients:", coefficients)

Метод 2: функция Curve_fit() в Scipy с пользовательской функцией ошибок
Функция Curve_fit() в Scipy обеспечивает мощный способ подгонки произвольных функций к данным. Определив пользовательскую функцию ошибок, учитывающую неопределенности, мы можем выполнить аппроксимацию полиномиальной кривой с обработкой ошибок.

import numpy as np
from scipy.optimize import curve_fit
def polynomial_func(x, *coefficients):
    return np.polyval(coefficients, x)
x = [1, 2, 3, 4, 5]
y = [2, 4, 7, 9, 12]
errors = [0.5, 0.3, 0.2, 0.4, 0.6]
p0 = np.ones(3)  # Initial guess for polynomial coefficients
coefficients, _ = curve_fit(polynomial_func, x, y, p0=p0, sigma=errors)
print("Polynomial Coefficients:", coefficients)

Метод 3: аппроксимация кривой байесовским полиномом
Байесовские методы предлагают вероятностный подход к аппроксимации кривой, который позволяет более явно обрабатывать неопределенности. Одним из таких методов является аппроксимация кривой байесовского полинома, в которой для оценки апостериорного распределения полиномиальных коэффициентов используется выборка методом Монте-Карло Марковской цепи (MCMC).

import numpy as np
import pymc3 as pm
x = [1, 2, 3, 4, 5]
y = [2, 4, 7, 9, 12]
errors = [0.5, 0.3, 0.2, 0.4, 0.6]
with pm.Model() as model:
    # Define priors for polynomial coefficients
    coefficients = pm.Normal("coefficients", mu=0, sd=10, shape=3)

    # Define likelihood based on polynomial function
    likelihood = pm.Normal("y", mu=np.polyval(coefficients, x), sd=errors, observed=y)

    # Perform MCMC sampling
    trace = pm.sample(2000, tune=1000)

# Get posterior distribution of coefficients
posterior_samples = trace["coefficients"]
print("Polynomial Coefficients (Mean):", np.mean(posterior_samples, axis=0))

В этой статье мы рассмотрели различные методы аппроксимации полиномиальной кривой с обработкой ошибок в Python. Мы рассмотрели методы с использованием функции Polyfit() NumPy со взвешенными наименьшими квадратами, функции Curve_fit() Scipy с пользовательской функцией ошибок и аппроксимации кривой байесовского полинома с выборкой MCMC. Включение обработки ошибок в аппроксимацию полиномиальной кривой позволяет нам получать более точные и надежные результаты при работе с реальными данными. Итак, в следующий раз, когда вам понадобится подогнать к вашим данным полином, не забудьте учесть неопределенности!