В этой статье мы углубимся в различные методы вычисления nCr % p (остаток от деления nCr на p) с использованием рекурсии. Для разработки этих алгоритмов будут использоваться концепции комбинаторики и модульной арифметики. Мы предоставим примеры кода и пояснения для каждого метода, что позволит вам выбрать наиболее подходящий подход для вашего конкретного случая использования.

Метод 1: наивный рекурсивный подход
Наивный подход предполагает прямую реализацию рекурсивной формулы для nCr с использованием оператора модуля. Вот пример на Python:

def nCr_modulo(n, r, p):
    if r == 0 or r == n:
        return 1
    return (nCr_modulo(n - 1, r - 1, p) + nCr_modulo(n - 1, r, p)) % p

Хотя этот метод прост для понимания, он может быть неэффективным для больших значений n и r из-за избыточных вычислений.

Метод 2: мемоизация
Чтобы оптимизировать рекурсивный подход, мы можем ввести мемоизацию. Мемоизация предполагает сохранение результатов ранее вычисленных значений в справочной таблице, чтобы избежать избыточных вычислений. Вот пример использования мемоизации в Python:

def nCr_modulo(n, r, p, memo={}):
    if r == 0 or r == n:
        return 1
    if (n, r) in memo:
        return memo[(n, r)]
    memo[(n, r)] = (nCr_modulo(n - 1, r - 1, p, memo) + nCr_modulo(n - 1, r, p, memo)) % p
    return memo[(n, r)]

Запоминая ранее вычисленные значения, этот метод значительно сокращает количество избыточных вычислений и повышает производительность.

Метод 3: Теорема Люка
Теорема Лукаса — мощный инструмент, который позволяет нам эффективно вычислять nCr % p для больших значений n и r. Он использует свойства модульной арифметики и факторизации простых чисел. Вот пример реализации на Python:

def nCr_modulo(n, r, p):
    def nCr_modulo_prime(n, r, p):
        if r == 0:
            return 1
        ni = n % p
        ri = r % p
        return (nCr_modulo_prime(n // p, r // p, p) * nCr_modulo_comb(ni, ri, p)) % p
    def nCr_modulo_comb(n, r, p):
        if r > n:
            return 0
        res = 1
        for i in range(r):
            res = (res * (n - i)) % p
            res = (res * pow(i + 1, p - 2, p)) % p
        return res
    return nCr_modulo_prime(n, r, p)

Теорема Лукаса обеспечивает эффективный способ вычисления nCr % p за счет сведения задачи к более мелким подзадачам и использования свойств модульной арифметики.

В этой статье мы рассмотрели несколько методов вычисления nCr % p с использованием рекурсии. Мы начали с наивного рекурсивного подхода, а затем повысили эффективность, введя мемоизацию. Наконец, мы использовали теорему Люка для эффективного вычисления nCr % p для больших значений n и r. В зависимости от ограничений задачи и размера входных данных вы можете выбрать наиболее подходящий метод оптимизации вычислений.

Реализация этих методов в вашем коде поможет вам эффективно рассчитать nCr % p, гарантируя точность и производительность. Приятного кодирования!