Привет! Сегодня мы собираемся погрузиться в увлекательный мир поиска фиксированных точек в JavaScript. Не волнуйтесь, если вы еще не знакомы с этим термином. Мы объясним все простым и понятным языком, сопровождая примерами кода. Итак, начнём!

Что такое фиксированная точка?

Неподвижная точка функции — это значение, которое при передаче через функцию остается неизменным. Другими словами, если у нас есть функция f(x), фиксированная точка xудовлетворяет уравнению f(x) = x. Поиск неподвижных точек — распространенная проблема в различных областях, например в математике, физике и информатике.

Метод 1: итерация с фиксированной точкой

Один из самых простых методов поиска фиксированных точек — итерация с фиксированной точкой. Идея этого метода заключается в многократном применении функции до тех пор, пока мы не придем к фиксированной точке. Вот реализация функции fixed_pointв JavaScript:

const tolerance = 0.00001;
function fixed_point(f, first_guess) {
  function close_enough(x, y) {
    return Math.abs(x - y) < tolerance;
  }
  let guess = first_guess;
  let next = f(guess);
  while (!close_enough(guess, next)) {
    guess = next;
    next = f(guess);
  }
  return next;
}

В этом коде f— это функция, для которой мы хотим найти фиксированную точку, а first_guess— наше начальное приближение. Функция close_enoughпроверяет, достаточно ли близки два значения, чтобы их можно было считать равными, исходя из заданного допуска.

Метод 2: метод Ньютона

Еще одним мощным методом поиска фиксированных точек является метод Ньютона, который обычно используется для поиска корней. Чтобы использовать метод Ньютона, нам нужна производная функции f. Вот пример кода:

function newton_method(f, df, guess) {
  let x = guess;
  let next;
  do {
    next = x - f(x) / df(x);
    x = next;
  } while (Math.abs(f(x)) > tolerance);
  return next;
}

В этом коде dfпредставляет собой производную функции f. Мы начинаем с первоначального предположения и итеративно уточняем его, пока не достигнем фиксированной точки.

Метод 3: метод деления пополам

Метод деления пополам — это еще один численный метод, который можно применять для поиска фиксированных точек. В отличие от предыдущих методов, метод деления пополам требует интервала, в котором находится фиксированная точка. Вот пример реализации:

function bisection_method(f, a, b) {
  let left = a;
  let right = b;
  let mid;
  do {
    mid = (left + right) / 2;
    if (f(mid) * f(left) < 0) {
      right = mid;
    } else {
      left = mid;
    }
  } while (Math.abs(f(mid)) > tolerance);
  return mid;
}

В этом коде f— это функция, а aи bопределяют начальный интервал. Метод многократно делит интервал пополам и обновляет левую и правую границы, пока не будет найдена фиксированная точка.

Заключение

В этой статье мы рассмотрели три распространенных метода поиска фиксированных точек в JavaScript: итерацию с фиксированной точкой, метод Ньютона и метод деления пополам. Каждый метод имеет свои преимущества и подходит для разных сценариев. В зависимости от характера функции и решаемой проблемы вы можете выбрать наиболее подходящий метод.

Помните, что поиск неподвижных точек — фундаментальная проблема в различных областях, и эти методы — лишь верхушка айсберга. Не стесняйтесь изучать более сложные методы, такие как метод секущих или метод Стеффенсена, чтобы расширить свои знания.

Удачного программирования и изучения мира фиксированных точек в JavaScript!