В вычислительной геометрии многоугольник — это замкнутая форма, состоящая из конечного числа отрезков прямых. Каждый сегмент линии называется ребром, а точка, где встречаются два ребра, называется вершиной. Нахождение вершин многоугольника является фундаментальной задачей во многих геометрических алгоритмах. В этой статье мы рассмотрим несколько методов вычисления вершин многоугольника, а также примеры кода на Python.

Метод 1: использование декартовых координат
Один из самых простых способов вычисления вершин многоугольника — это представление каждой вершины в виде пары декартовых координат (x, y). Координаты могут храниться в списке или массиве. Вот пример реализации на Python:

def get_polygon_vertices(cartesian_points):
    return cartesian_points
# Example usage
polygon_vertices = get_polygon_vertices([(0, 0), (2, 0), (2, 2), (0, 2)])
print(polygon_vertices)

Метод 2: Алгоритм выпуклой оболочки
Алгоритм выпуклой оболочки находит наименьший выпуклый многоугольник, охватывающий все заданные точки. Сортируя точки по выпуклой оболочке против часовой стрелки, мы можем получить вершины многоугольника. Существует несколько алгоритмов вычисления выпуклой оболочки, например сканирование Грэма и марш Джарвиса. Вот пример использования алгоритма сканирования Грэма:

from scipy.spatial import ConvexHull
def get_polygon_vertices(points):
    hull = ConvexHull(points)
    vertices = points[hull.vertices]
    return vertices
# Example usage
polygon_vertices = get_polygon_vertices([(0, 0), (2, 0), (2, 2), (0, 2)])
print(polygon_vertices)

Метод 3: Разложение на треугольники
Другой подход заключается в разложении многоугольника на треугольники. Мы можем добиться этого, соединив одну вершину с каждой парой соседних вершин. Вот пример реализации:

def get_polygon_vertices(vertices):
    triangles = []
    for i in range(len(vertices) - 2):
        triangles.append([vertices[0], vertices[i + 1], vertices[i + 2]])
    return triangles
# Example usage
polygon_vertices = get_polygon_vertices([(0, 0), (2, 0), (2, 2), (0, 2)])
print(polygon_vertices)

Метод 4: использование тригонометрии
Если известно, что многоугольник правильный (все стороны и углы равны), мы можем вычислить вершины с помощью тригонометрических функций. Этот метод предполагает деление полного круга (360 градусов) на равные углы и вычисление координат с помощью функций синуса и косинуса. Вот пример:

import math
def get_polygon_vertices(num_sides, radius):
    angle = 2 * math.pi / num_sides
    vertices = []
    for i in range(num_sides):
        x = radius * math.cos(i * angle)
        y = radius * math.sin(i * angle)
        vertices.append((x, y))
    return vertices
# Example usage
polygon_vertices = get_polygon_vertices(5, 2)
print(polygon_vertices)

В этой статье мы рассмотрели несколько методов вычисления вершин многоугольника. Мы рассмотрели подходы, основанные на декартовых координатах, алгоритмах выпуклой оболочки, разложении на треугольники и тригонометрии. В зависимости от конкретных требований вашего приложения вы можете выбрать наиболее подходящий метод. Понимая эти методы, вы сможете более эффективно работать с полигонами в различных задачах вычислительной геометрии.

Не забудьте оптимизировать алгоритмы для повышения эффективности при работе с большими полигонами или приложениями, где производительность критична. Поэкспериментируйте с разными подходами и выберите тот, который лучше всего соответствует вашим потребностям.