Рекуррентные соотношения — это математические уравнения, используемые для анализа временной сложности алгоритмов. Одним из распространенных рекуррентных отношений является формула «разделяй и властвуй», часто представляемая как T(n) = 2T(n/2) + n/log n. В этой статье блога мы рассмотрим различные методы решения этого рекуррентного соотношения и предоставим примеры кода для каждого подхода. Поняв эти методы, вы получите представление о временной сложности алгоритмов, следующих парадигме «разделяй и властвуй».

Метод 1: Рекурсия
Самый простой способ решить рекуррентное соотношение — это рекурсия. Мы можем определить рекурсивную функцию, которая вызывает себя с меньшими входными данными, пока не достигнет базового случая. Вот пример реализации на Python:

def divide_and_conquer(n):
    if n <= 1:
        return 1
    else:
        return 2 * divide_and_conquer(n // 2) + n / math.log(n)

Метод 2: Основная теорема
Главная теорема — мощный инструмент для решения рекуррентных соотношений вида T(n) = aT(n/b) + f(n). Он предоставляет формулу для определения временной сложности без явного вычисления решения. Формула «разделяй и властвуй» T(n) = 2T(n/2) + n/log n подпадает под случай 1 Главной теоремы. Временная сложность может быть выражена как Θ(n log n).

Метод 3: итерация
Другой подход к решению рекуррентного отношения — итерация. Итеративно расширяя отношение, мы можем наблюдать закономерность и найти выражение в замкнутой форме для T(n). Вот пример реализации на Python:

def divide_and_conquer(n):
    result = 0
    while n > 1:
        result += n / math.log(n)
        n //= 2
    return result + 1

Метод 4: Метод замены
Метод замены включает в себя обоснованное предположение о решении, а затем доказательство его правильности с помощью математической индукции. Хотя это, возможно, не самый эффективный метод для сложных рекуррентных отношений, он может быть полезен для более простых. Вот схема метода замены для T(n) = 2T(n/2) + n/log n:

1. Угадайте решение: T(n) = O(n log^2 n).
2. Докажите предположение по индукции.