Палиндромные числа — это удивительные числовые сущности, которые остаются неизменными, даже если их цифры перепутать. Они обладают симметрией и часто изучаются в математике и информатике. В этой статье мы рассмотрим различные методы идентификации и генерации палиндромных чисел, а также приведем примеры кода на популярных языках программирования.

1. Проверка палиндромных чисел.
   Самый простой способ определить, является ли число палиндромным, — это сравнить его цифры слева направо и справа налево. Вот фрагмент кода на Python:

def is_palindrome(number):
    number_string = str(number)
    reversed_string = number_string[::-1]
    return number_string == reversed_string
# Test if a number is palindromic
print(is_palindrome(12321))  # Output: True
print(is_palindrome(12345))  # Output: False

1. Генерация палиндромных чисел:
   Существует несколько методов генерации палиндромных чисел. Один из подходов — перебрать все числа и проверить каждое на палиндромность. Вот пример на Python:

def generate_palindromes(n):
    palindromes = []
    for i in range(n):
        if is_palindrome(i):
            palindromes.append(i)
    return palindromes
# Generate palindromic numbers up to 100
print(generate_palindromes(100))  # Output: [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99]

1. Математический подход:
   Другой метод предполагает использование свойств палиндромных чисел. Например, числа-палиндромы с четным количеством цифр можно получить, перевернув первую половину числа и прибавив ее к самому себе. Вот реализация на Python:

def generate_palindromic_numbers(digits):
    palindromes = []
    limit = 10  digits
    for i in range(1, limit):
        s = str(i)
        palindrome = int(s + s[::-1])
        palindromes.append(palindrome)
    return palindromes
# Generate 3-digit palindromic numbers
print(generate_palindromic_numbers(3))  # Output: [11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, 101, 111, 121, 131, 141, ...]

1. Рекурсивный подход.
   Используя рекурсивный подход, мы можем генерировать палиндромные числа, добавляя зеркально отраженные цифры в середину числа. Вот рекурсивная функция в Python:

def generate_palindromic_numbers_recursive(digits):
    if digits == 0:
        return [""]
    if digits == 1:
        return ["0", "1", "2", "3", "4", "5", "6", "7", "8", "9"]
    palindromes = []
    for num in generate_palindromic_numbers_recursive(digits - 2):
        for i in range(10):
            palindrome = str(i) + num + str(i)
            palindromes.append(palindrome)
    return palindromes
# Generate 4-digit palindromic numbers using recursion
print(generate_palindromic_numbers_recursive(4))  # Output: ['0000', '0110', '0220', '0330', '0440', '0550', ...]

Палиндромные числа — это интригующие математические конструкции, предлагающие широкий спектр методов идентификации и генерации. Проверяя палиндромность, используя математические свойства или применяя рекурсивные методы, мы можем исследовать и генерировать эти удивительные числовые симметрии. Будь то математическое любопытство или практическое применение, числа-палиндромы продолжают привлекать умы в мире математики и информатики.