В этой статье блога мы углубимся в различные методы поиска самой длинной палиндромной подпоследовательности (LPS) заданной строки. Палиндромная подпоследовательность — это последовательность, которая остается неизменной при чтении вперед и назад, но не обязательно должна быть непрерывной. Мы рассмотрим различные подходы, включая динамическое программирование, рекурсию с мемоизацией, а также подходы «сверху вниз» и «снизу вверх». Итак, начнём!

1. Подход динамического программирования:
   Подход динамического программирования — это широко используемый метод эффективного решения проблем путем разбиения их на более мелкие перекрывающиеся подзадачи и сохранения их решений. Вот пример кода на Python:

def longest_palindromic_subsequence(s):
    n = len(s)
    dp = [[0] * n for _ in range(n)]
    for i in range(n):
        dp[i][i] = 1
    for cl in range(2, n + 1):
        for i in range(n - cl + 1):
            j = i + cl - 1
            if s[i] == s[j] and cl == 2:
                dp[i][j] = 2
            elif s[i] == s[j]:
                dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2
            else:
                dp[i][j] = max(dp[i][j - 1], dp[i + 1][j])
    return dp[0][n - 1]

2. Рекурсия с мемоизацией.
   Рекурсия с мемоизацией — еще один подход к решению этой проблемы. Он позволяет избежать избыточных вычислений, сохраняя результаты подзадач в кеше. Вот пример того, как это можно реализовать:

def longest_palindromic_subsequence(s):
    memo = {}
    def dp(i, j):
        if i > j:
            return 0
        if i == j:
            return 1
        if (i, j) in memo:
            return memo[(i, j)]
        if s[i] == s[j]:
            memo[(i, j)] = dp(i + 1, j - 1) + 2
        else:
            memo[(i, j)] = max(dp(i + 1, j), dp(i, j - 1))
        return memo[(i, j)]
    return dp(0, len(s) - 1)

3. Нисходящий подход.
   Нисходящий подход разбивает проблему на более мелкие подзадачи и решает их рекурсивно, начиная сверху. Вот пример того, как это можно реализовать:

def longest_palindromic_subsequence(s):
    n = len(s)
    memo = [[-1] * n for _ in range(n)]
    def dp(i, j):
        if i > j:
            return 0
        if i == j:
            return 1
        if memo[i][j] != -1:
            return memo[i][j]
        if s[i] == s[j]:
            memo[i][j] = dp(i + 1, j - 1) + 2
        else:
            memo[i][j] = max(dp(i + 1, j), dp(i, j - 1))
        return memo[i][j]
    return dp(0, n - 1)

4. Подход «снизу вверх».
   Подход «снизу вверх» решает проблему путем итеративного построения решения, начиная с более мелких подзадач и постепенно решая более крупные. Вот пример того, как это можно реализовать:

def longest_palindromic_subsequence(s):
    n = len(s)
    dp = [[0] * n for _ in range(n)]
    for i in range(n):
        dp[i][i] = 1
    for cl in range(2, n + 1):
        for i in range(n - cl + 1):
            j = i + cl - 1
            if s[i] == s[j]:
                dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2
            else:
                dp[i][j] = max(dp[i][j - 1], dp[i + 1][j])
    return dp[0][n - 1]

В этой статье блога мы рассмотрели различные методы поиска самой длинной палиндромной подпоследовательности. Мы рассмотрели подход динамического программирования, рекурсию с запоминанием, а также подходы «сверху вниз» и «снизу вверх». Каждый метод имеет свои преимущества и недостатки в зависимости от размера проблемы и ограничений. Понимая эти методы и их реализации, вы можете эффективно найти самую длинную палиндромную подпоследовательность заданной строки. Независимо от того, предпочитаете ли вы подход динамического программирования, рекурсию с запоминанием или подход «сверху вниз» или «снизу вверх», теперь у вас есть несколько вариантов эффективного решения этой проблемы.