Уравнения вращения играют фундаментальную роль в различных областях, включая компьютерную графику, робототехнику и физику. Понимание различных методов вращения необходимо для манипулирования и преобразования объектов в трехмерном пространстве. В этой статье мы рассмотрим несколько уравнений вращения и предоставим примеры кода для демонстрации их реализации. Давайте погрузимся!

1. Углы Эйлера:
   Углы Эйлера представляют собой вращения как три последовательных элементарных вращения вокруг фиксированных осей (обычно X, Y и Z). Следующий фрагмент кода демонстрирует, как выполнить поворот с использованием углов Эйлера:

import numpy as np
def euler_rotation(theta_x, theta_y, theta_z):
    # Convert angles to radians
    theta_x = np.radians(theta_x)
    theta_y = np.radians(theta_y)
    theta_z = np.radians(theta_z)
    # Construct rotation matrices
    rotation_x = np.array([[1, 0, 0],
                           [0, np.cos(theta_x), -np.sin(theta_x)],
                           [0, np.sin(theta_x), np.cos(theta_x)]])
    rotation_y = np.array([[np.cos(theta_y), 0, np.sin(theta_y)],
                           [0, 1, 0],
                           [-np.sin(theta_y), 0, np.cos(theta_y)]])
    rotation_z = np.array([[np.cos(theta_z), -np.sin(theta_z), 0],
                           [np.sin(theta_z), np.cos(theta_z), 0],
                           [0, 0, 1]])
    # Combine rotations
    rotation_matrix = rotation_z @ rotation_y @ rotation_x
    return rotation_matrix

2. Вращение кватернионов.
   Кватернионы обеспечивают компактное представление вращения и позволяют избежать некоторых ограничений углов Эйлера, таких как блокировка карданного подвеса. Вот пример выполнения поворота с использованием кватернионов:

import numpy as np
from scipy.spatial.transform import Rotation
def quaternion_rotation(angle, axis):
    # Convert angle to radians
    angle = np.radians(angle)
    # Normalize the axis vector
    axis /= np.linalg.norm(axis)
    # Create quaternion rotation object
    r = Rotation.from_quat([axis[0]*np.sin(angle/2), axis[1]*np.sin(angle/2), axis[2]*np.sin(angle/2), np.cos(angle/2)])
    # Convert to rotation matrix
    rotation_matrix = r.as_matrix()
    return rotation_matrix

3. Матрицы вращения.
   Матрицы вращения обеспечивают краткое представление вращения. Вот как можно реализовать поворот с помощью матриц:

import numpy as np
def matrix_rotation(theta, axis):
    # Convert angle to radians
    theta = np.radians(theta)
    # Normalize the axis vector
    axis /= np.linalg.norm(axis)
    # Skew-symmetric cross-product matrix
    K = np.array([[0, -axis[2], axis[1]],
                  [axis[2], 0, -axis[0]],
                  [-axis[1], axis[0], 0]])
    # Construct rotation matrix
    rotation_matrix = np.eye(3) + np.sin(theta) * K + (1 - np.cos(theta)) * (K @ K)
    return rotation_matrix

4. Представление оси-угла:
   Представление оси-угла определяет вращение по оси и углу поворота. Вот пример реализации поворота с использованием представления угла оси:

import numpy as np
def axis_angle_rotation(angle, axis):
    # Convert angle to radians
    angle = np.radians(angle)
    # Normalize the axis vector
    axis /= np.linalg.norm(axis)
    # Compute rotation matrix
    rotation_matrix = np.eye(3) * np.cos(angle) + (1 - np.cos(angle)) * np.outer(axis, axis) + np.sin(angle) * skew_symmetric(axis)
    return rotation_matrix
def skew_symmetric(v):
    return np.array([[0, -v[2], v[1]],
                     [v[2], 0, -v[0]],
                     [-v[1], v[0], 0]])

В этой статье мы рассмотрели различные уравнения вращения и предоставили примеры кода для каждого метода. Углы Эйлера, вращения кватернионов, матрицы вращения и представление угла оси имеют свои преимущества и подходят для различных приложений. Понимая эти методы вращения, вы сможете эффективно манипулировать и трансформировать объекты в трехмерном пространстве. Поэкспериментируйте с этими фрагментами кода и включите их в свои проекты, чтобы воплотить в жизнь 3D-преобразования!