Чтобы добавить отображаемое имя в Firebase Authentication, вы можете использовать следующие методы:

1. Метод 1. Задайте отображаемое имя во время создания пользователя
   При создании новой учетной записи пользователя вы можете указать отображаемое имя как свойство объекта пользователя. Вот пример того, как это можно сделать с помощью JavaScript SDK:

firebase.auth().createUserWithEmailAndPassword(email, password)
  .then((userCredential) => {
    // Set the display name
    userCredential.user.updateProfile({
      displayName: "John Doe"
    });
  })
  .catch((error) => {
    // Handle any errors
  });

2. Метод 2. Обновление отображаемого имени существующего пользователя
   Если вы хотите обновить отображаемое имя существующего пользователя, вы можете использовать метод updateProfile. Вот пример:

const user = firebase.auth().currentUser;
if (user) {
  user.updateProfile({
    displayName: "Jane Smith"
  })
  .then(() => {
    // Profile updated successfully
  })
  .catch((error) => {
    // Handle any errors
  });
}

3. Метод 3: настройка пользовательского интерфейса
   Если вы используете FirebaseUI для аутентификации, вы можете настроить процесс регистрации или обновления профиля, включив в него поле для отображаемого имени. Вы можете обратиться к документации FirebaseUI для получения подробной информации о реализации на основе выбранной вами платформы.