Алгоритмы сетевых потоков играют решающую роль в решении задач оптимизации, связанных с движением ресурсов через сеть. Одной из фундаментальных проблем сетевого потока является поиск максимального потока, который можно отправить от источника к приемнику, соблюдая при этом ограничения пропускной способности ребер сети. В некоторых сценариях исходная пропускная способность ребер может оказаться недостаточной для точного расчета максимального расхода. В этой статье мы рассмотрим различные методы увеличения пропускной способности алгоритмов сетевых потоков для достижения более точных и эффективных результатов.

1. Масштабирование путем умножения целых чисел.
   Одним из распространенных подходов к увеличению емкости является умножение целых чисел. Умножив все краевые пропускные способности на достаточно большой коэффициент, мы можем гарантировать, что полученные масштабированные пропускные способности находятся в пределах диапазона типичных значений расхода. Вот пример реализации на Python с использованием библиотеки NetworkX:

import networkx as nx
def scale_capacity(graph, scale_factor):
    for (u, v) in graph.edges():
        graph[u][v]['capacity'] *= scale_factor
# Usage example
G = nx.DiGraph()
G.add_edge('A', 'B', capacity=10)
G.add_edge('B', 'C', capacity=15)
scale_capacity(G, 100)
print(G.edges(data=True))

2. Алгоритм Preflow-Push с масштабированием емкости.
   Другой популярный метод — сочетание алгоритма Preflow-Push с масштабированием емкости. Идея состоит в том, чтобы итеративно найти максимальный расход, используя масштабированный график пропускной способности, пока не будет достигнут исходный график пропускной способности. Вот фрагмент кода, демонстрирующий этот подход с использованием библиотек NetworkX и Network Simplex:

import networkx as nx
import network_simplex as ns
def scale_capacity(graph, scale_factor):
    scaled_graph = nx.DiGraph()
    for (u, v) in graph.edges():
        scaled_graph.add_edge(u, v, capacity=graph[u][v]['capacity'] * scale_factor)
    return scaled_graph
def compute_max_flow(graph):
    try:
        flow_dict = ns.maximum_flow(graph)
        return flow_dict.graph['flow_value']
    except nx.NetworkXUnfeasible:
        return -1
def max_flow_scaling_capacity(graph, scale_factor):
    max_flow = 0
    while scale_factor >= 1:
        scaled_graph = scale_capacity(graph, scale_factor)
        flow = compute_max_flow(scaled_graph)
        if flow == -1:
            scale_factor //= 2
        else:
            max_flow += flow
            scale_factor *= 2
    return max_flow
# Usage example
G = nx.DiGraph()
G.add_edge('A', 'B', capacity=10)
G.add_edge('B', 'C', capacity=15)
max_flow = max_flow_scaling_capacity(G, 2)
print("Max flow:", max_flow)

Максимизация потока в алгоритмах сетевых потоков является важной задачей при решении задач оптимизации. Увеличивая пропускную способность границ сети, мы можем добиться более точных и эффективных результатов. В этой статье мы исследовали два метода масштабирования емкости: масштабирование путем целочисленного умножения и сочетание алгоритма предварительной подачи с масштабированием емкости. Эти методы предоставляют ценные инструменты для решения сложных задач оптимизации потока.