Под «специальной тройкой Пифагора» понимается набор из трех натуральных чисел (a, b, c), которые удовлетворяют теореме Пифагора, которая гласит, что квадрат гипотенузы (стороны, противоположной прямому углу) равен сумма квадратов двух других сторон. Математически это можно выразить как a² + b² = c².

Существует несколько способов создания особых пифагорейских троек:

1. Метод грубой силы:

   • Начните со значения a (например, 1) и переберите все возможные значения b и c.
   • Для каждой комбинации a, b и c проверьте, соответствует ли a² + b² = c².
   • Если тройка найдена, то это особая пифагорова тройка.

2. Формула Евклида:

   • Формула Евклида гласит, что для любых двух натуральных чисел m и n, где m >n, следующие уравнения образуют тройку Пифагора:
     a = 2mn, b = m² – n², c = m² + n².
   • Варьируя значения m и n, можно создавать разные триплеты.

3. Создание примитивных троек:

   • Примитивные пифагорейские тройки — это тройки, в которых a, b и c взаимно просты (т. е. не имеют общих множителей).
   • Один из методов создания примитивных троек — использование формулы Евклида с взаимно простыми значениями m и n.
   • После создания примитивного триплета вы можете масштабировать его, умножив a, b и c на одно и то же целое число, чтобы получить непримитивные тройки.

4. Использование тройных тождеств Пифагора:

   • Существует несколько тождеств и формул, полученных из троек Пифагора, которые можно использовать для создания новых троек.
   • Например, если (a, b, c) — тройка Пифагора, то (ka, kb, kc) также является тройкой для любого положительного целого числа k.