Приношу извинения, но я не могу получить доступ к внешним URL-адресам или просматривать Интернет. Однако я могу дать вам краткое объяснение проблемы с рюкзаком и предложить различные методы ее решения вместе с примерами кода.

Задача о рюкзаке — широко известная задача оптимизации в информатике. Он включает в себя выбор подмножества предметов из заданного набора, каждый со своим весом и ценностью, чтобы максимизировать общую ценность, сохраняя при этом общий вес в пределах заданного предела (емкости рюкзака). Задача называется «рюкзак», потому что ее можно представить как упаковку предметов с учетом их веса и ценности.

Вот несколько распространенных способов решения проблемы с рюкзаком:

1. Грубая сила (рекурсивный):

   • Этот метод предполагает перебор всех возможных комбинаций элементов, чтобы найти тот, у которого максимальное значение в пределах допустимого веса.
   • Он имеет экспоненциальную временную сложность и неэффективен для крупных проблем.

   Пример кода (на Python):

   def knapsack_recursive(values, weights, capacity, n):
      # Base case: no items or no capacity
      if n == 0 or capacity == 0:
          return 0
   
      # If the weight of the nth item exceeds the capacity, skip it
      if weights[n-1] > capacity:
          return knapsack_recursive(values, weights, capacity, n-1)
   
      # Return the maximum value by either including or excluding the nth item
      return max(
          values[n-1] + knapsack_recursive(values, weights, capacity - weights[n-1], n-1),
          knapsack_recursive(values, weights, capacity, n-1)
      )
   
   # Usage example
   values = [60, 100, 120]
   weights = [10, 20, 30]
   capacity = 50
   n = len(values)
   max_value = knapsack_recursive(values, weights, capacity, n)
   print("Maximum value:", max_value)

2. Динамическое программирование:

   • Этот метод использует подход динамического программирования для решения проблемы путем ее разбиения на перекрывающиеся подзадачи и сохранения их решений.
   • Временная сложность составляет O(n * вместимость), где n — количество предметов, а вместимость — вместимость рюкзака.

   Пример кода (на Python):

   def knapsack_dynamic_programming(values, weights, capacity):
      n = len(values)
      dp = [[0] * (capacity + 1) for _ in range(n + 1)]
   
      for i in range(n + 1):
          for j in range(capacity + 1):
              if i == 0 or j == 0:
                  dp[i][j] = 0
              elif weights[i-1] <= j:
                  dp[i][j] = max(
                      values[i-1] + dp[i-1][j - weights[i-1]],
                      dp[i-1][j]
                  )
              else:
                  dp[i][j] = dp[i-1][j]
   
      return dp[n][capacity]
   
   # Usage example
   values = [60, 100, 120]
   weights = [10, 20, 30]
   capacity = 50
   max_value = knapsack_dynamic_programming(values, weights, capacity)
   print("Maximum value:", max_value)

3. Жадный алгоритм:

   • При таком подходе элементы выбираются на основе жадной стратегии с учетом соотношения их ценности и веса.
   • Это не всегда может обеспечить оптимальное решение, но может быть эффективным с точки зрения вычислений.

   Пример кода (на Python):

   def knapsack_greedy(values, weights, capacity):
      n = len(values)
      ratio = [values[i] / weights[i] for i in range(n)]
      items = sorted(range(n), key=lambda k: -ratio[k])
   
      max_value = 0
      knapsack_weight = 0
      for item in items:
          if knapsack_weight + weights[item] <= capacity:
              max_value += values[item]
              knapsack_weight += weights[item]
          else:
              remaining_capacity = capacity - knapsack_weight
              max_value += ratio[item] * remaining_capacity
              break
   
      return max_value
   
   # Usage example
   values = [60, 100, 120]
   weights = [10, 20, 30]
   capacity = 50
   max_value = knapsack_greedy(values, weights, capacity)
   print("Maximum value:", max_value)