«Модульная инверсия» — английский термин, используемый в математике и информатике. Это относится к поиску мультипликативного обратного числа в данной модульной арифметической системе. Другими словами, он включает в себя нахождение числа, которое при умножении на заданное число и взятии по модулю определенного значения дает в остатке 1. Обратное по модулю имеет решающее значение в различных областях, включая теорию чисел, криптографию и разработку алгоритмов.

Вот несколько методов вычисления обратного модуля:

1. Расширенный алгоритм Евклида: этот алгоритм обычно используется для поиска модульного обратного числа. Он опирается на свойства наибольшего общего делителя (НОД) для эффективного вычисления обратного модуля.

2. Малая теорема Ферма: Если модуль простой, Малая теорема Ферма предоставляет простой метод определения обратного модуля. Он утверждает, что для любого простого числа p и целого числа a, не кратного p, возведенное в степень p-2 соответствует его обратному модулярному модулю p.

3. Теорема Эйлера о Тотиенте. Когда модуль взаимно прост с заданным числом, теорему Эйлера о Тотиенте можно использовать для вычисления обратного модуля. Теорема утверждает, что если m и a взаимно просты, то a, возведенная в степень φ(m)-1, конгруэнтна своему модулярному обратному модулю m, где φ(m) обозначает тотент-функцию Эйлера.

4. Двоичное возведение в степень: этот метод полезен, когда модуль велик. Он включает в себя повторное возведение в квадрат и уменьшение по модулю заданного модуля до тех пор, пока не будет получено обратное модульное значение.

5. Модульная обратная таблица. В некоторых случаях, когда модуль невелик, может оказаться полезным предварительное вычисление модульной обратной таблицы. В этой таблице хранится модульное обратное значение каждого числа внутри модуля. Он позволяет осуществлять быстрый поиск и полезен в сценариях, где необходимо вычислить несколько модульных обратных чисел.