LeetCode – популярная платформа для энтузиастов программирования, позволяющая практиковать свои алгоритмические навыки. В этой статье мы углубимся в одну конкретную проблему — LeetCode 651 — и рассмотрим различные методы ее решения. Мы будем использовать разговорный язык и приводить примеры кода, чтобы сделать процесс обучения приятным и доступным.

Обзор проблемы:
LeetCode 651 основан на построении красивых шаблонов двоичных деревьев. Красивое двоичное дерево определяется как дерево, в котором каждый нелистовой узел имеет ровно два дочерних узла. Задача состоит в том, чтобы посчитать количество красивых деревьев, которые можно сформировать из N узлов.

Метод 1: подход грубой силы
Подход грубой силы включает в себя создание всех возможных двоичных деревьев с N узлами и проверку, соответствуют ли они условиям красивого дерева. Хотя этот метод прост, временная сложность растет экспоненциально с увеличением N, что делает его неэффективным для больших значений. Вот пример реализации на Python:

def countBeautifulTrees(N):
    if N <= 1:
        return 1
    count = 0
    for i in range(1, N):
        leftCount = countBeautifulTrees(i)
        rightCount = countBeautifulTrees(N - i - 1)
        count += leftCount * rightCount
    return count

Метод 2: динамическое программирование
Чтобы оптимизировать решение, мы можем использовать динамическое программирование, чтобы избежать избыточных вычислений. Мы можем хранить результаты подзадач и повторно использовать их при необходимости. Этот метод значительно снижает временную сложность за счет уменьшения количества рекурсивных вызовов. Вот пример реализации на Python:

def countBeautifulTrees(N):
    dp = [0] * (N + 1)
    dp[0] = dp[1] = 1
    for i in range(2, N + 1):
        for j in range(1, i):
            dp[i] += dp[j] * dp[i - j - 1]
    return dp[N]

Метод 3: математическая формула
Интересно, что количество красивых деревьев можно рассчитать с помощью математической формулы, связанной с каталонскими числами. Формула гласит, что количество красивых деревьев с N узлами определяется как (2N выбирают N), разделенное на (N + 1). Этот метод обеспечивает постоянную временную сложность O(1) и чрезвычайно эффективен. Вот пример реализации на Python:

import math
def countBeautifulTrees(N):
    return math.comb(2 * N, N) // (N + 1)

В этой статье мы рассмотрели три метода решения проблемы LeetCode 651: метод грубой силы, динамическое программирование и математическую формулу, основанную на каталонских числах. Каждый метод имеет свои преимущества и недостатки с точки зрения временной сложности и эффективности. Поняв эти различные подходы, вы сможете улучшить свои навыки решения проблем и глубже понять бинарные деревья.