Перенос вектора — это фундаментальная операция в линейной алгебре, которая включает в себя сдвиг положения вектора в пространстве. Он обычно используется в графике, физическом моделировании и приложениях компьютерного зрения. В этой статье блога мы рассмотрим различные методы перевода векторов и предоставим примеры кода, иллюстрирующие каждый метод.

Метод 1: добавление координат
Самый простой метод перемещения вектора — добавление желаемого смещения к его координатам. Рассмотрим вектор v = (x, y) и вектор сдвига t = (tx, ty). Переведенный вектор v’ можно получить, добавив вектор перевода к исходному вектору:

v' = v + t

v = (2, 3)
t = (1, -2)
v' = v + t = (2 + 1, 3 - 2) = (3, 1)

Метод 2: умножение матриц
Перенос векторов также можно выполнить с помощью умножения матриц. Мы можем представить перевод как матрицу преобразования 3×3, где первые два столбца представляют компоненты вращения и масштабирования, а последний столбец представляет компоненты перевода. Матрица перевода T определяется следующим образом:

T = | 1  0  tx |
    | 0  1  ty |
    | 0  0  1  |

v_h = | x |
      | y |
      | 1 |

v' = T * v_h

v = (2, 3)
t = (1, -2)
T = | 1  0  1 |
    | 0  1 -2 |
    | 0  0  1 |
v_h = | 2 |
      | 3 |
      | 1 |
v' = T * v_h = | 3 |
               | 1 |
               | 1 |

Метод 3: сложение векторов с масштабированием
Этот метод сочетает в себе сложение векторов и масштабирование для достижения векторного перевода. Вместо того, чтобы напрямую добавлять вектор перевода, мы можем масштабировать его с коэффициентом, а затем добавить к исходному вектору. Переведенный вектор v’ можно вычислить как:

v' = v + s * t

# Method 1: Adding Coordinates
def translate_vector_addition(vector, translation):
    return tuple(v + t for v, t in zip(vector, translation))
# Usage:
v = (2, 3)
t = (1, -2)
v_prime = translate_vector_addition(v, t)
print(v_prime)  # Output: (3, 1)

# Method 2: Matrix Multiplication
import numpy as np
def translate_vector_matrix(vector, translation):
    homogeneous_vector = np.array(list(vector) + [1])
    translation_matrix = np.array([[1, 0, translation[0]], [0, 1, translation[1]], [0, 0, 1]])
    translated_vector = np.dot(translation_matrix, homogeneous_vector)
    return tuple(translated_vector[:2])
# Usage:
v = (2, 3)
t = (1, -2)
v_prime = translate_vector_matrix(v, t)
print(v_prime)  # Output: (3.0, 1.0)

# Method 3: Vector Addition with Scaling
def translate_vector_scaling(vector, translation, scaling_factor):
    return tuple(v + (scaling_factor * t) for v, t in zip(vector, translation))
# Usage:
v = (2, 3)
t = (1, -2)
s = 2
v_prime = translate_vector_scaling(v, t, s)
print(v_prime)  # Output: (4, -1)

В этой статье мы рассмотрели различные методы перемещения векторов в пространстве. Мы обсудили базовый подход к добавлению координат, умножению матриц и сложению векторов с масштабированием. Каждый метод предлагает различные преимущества в зависимости от конкретных требований вашего приложения. Понимая эти методы и используя предоставленные примеры кода, вы сможете эффективно преобразовывать векторы в своих математических и программных начинаниях.