Собственные значения и собственные векторы — это фундаментальные понятия линейной алгебры, которые имеют широкое применение в различных областях, включая физику, инженерное дело и информатику. В этой статье блога мы рассмотрим концепцию собственных значений и собственных векторов, обсудим их значение и представим несколько методов их вычисления с использованием примеров кода на Python.

Что такое собственные значения и собственные векторы?
Собственные значения и собственные векторы являются свойствами квадратных матриц. Собственное значение — это скалярное значение, которое показывает, как матрица растягивает или сжимает заданный собственный вектор. С другой стороны, собственный вектор — это ненулевой вектор, который остается в том же направлении (с точностью до скалярного коэффициента) при умножении на матрицу.

Метод 1: характеристический полином и корни
Одним из распространенных методов поиска собственных значений матрицы является вычисление ее характеристического полинома и нахождение ее корней. Давайте рассмотрим матрицу A 2×2:

import numpy as np
A = np.array([[a, b], [c, d]])  # Replace a, b, c, and d with appropriate values
eigenvalues = np.linalg.eigvals(A)
print("Eigenvalues:", eigenvalues)

Метод 2: Алгоритм степенной итерации
Алгоритм степенной итерации представляет собой итерационный метод вычисления доминирующего собственного значения и соответствующего ему собственного вектора. Он начинается со случайного вектора и многократно умножает его на матрицу, нормализуя на каждом шаге.

import numpy as np
def power_iteration(A, num_iterations):
    n = A.shape[0]
    x = np.random.rand(n)

    for _ in range(num_iterations):
        x = np.dot(A, x)
        x /= np.linalg.norm(x)

    eigenvalue = np.dot(x, np.dot(A, x))
    return eigenvalue, x
A = np.array([[a, b], [c, d]])  # Replace a, b, c, and d with appropriate values
eigenvalue, eigenvector = power_iteration(A, num_iterations=100)
print("Dominant Eigenvalue:", eigenvalue)
print("Dominant Eigenvector:", eigenvector)

Метод 3: Алгоритм QR
Алгоритм QR — это итерационный метод, который использует QR-разложение матрицы для вычисления ее собственных значений. Он многократно разлагает матрицу на произведение ортогональной матрицы (Q) и верхней треугольной матрицы (R).

import numpy as np
def qr_algorithm(A, num_iterations):
    n = A.shape[0]

    for _ in range(num_iterations):
        Q, R = np.linalg.qr(A)
        A = np.dot(R, Q)

    eigenvalues = np.diag(A)
    return eigenvalues
A = np.array([[a, b], [c, d]])  # Replace a, b, c, and d with appropriate values
eigenvalues = qr_algorithm(A, num_iterations=100)
print("Eigenvalues:", eigenvalues)

В этой статье мы исследовали концепцию собственных значений и собственных векторов и представили несколько методов их вычисления. Мы рассмотрели такие методы, как характеристический полином, алгоритм степенной итерации и алгоритм QR, каждый из которых снабжен примерами кода на Python. Понимание собственных значений и собственных векторов имеет решающее значение для различных приложений, и эти методы предоставляют разные подходы к их эффективному вычислению.