Привет, уважаемые любители чисел! Сегодня мы погружаемся глубоко в увлекательный мир простых чисел и исследуем различные методы поиска этих неуловимых математических жемчужин. Независимо от того, являетесь ли вы новичком в программировании или опытным профессионалом, будьте готовы разгадать секреты простых чисел с помощью простых, но эффективных примеров кода.

1. Пробное разделение.
   Давайте начнем с самого простого метода: пробного разделения. Он предполагает деление числа, которое мы хотим проверить, на все возможные делители до его квадратного корня. Если какой-либо делитель найден, число является составным; в противном случае это просто. Вот реализация Python:

def is_prime_trial_division(n):
    if n < 2:
        return False
    for i in range(2, int(n  0.5) + 1):
        if n % i == 0:
            return False
    return True

1. Решето Эратосфена:
   Далее идет классический алгоритм под названием Решето Эратосфена. Он эффективно находит все простые числа до заданного предела. Вот как это работает:

def sieve_of_eratosthenes(n):
    primes = [True] * (n + 1)
    primes[0] = primes[1] = False
    p = 2
    while p * p <= n:
        if primes[p]:
            for i in range(p * p, n + 1, p):
                primes[i] = False
        p += 1
    return [i for i, is_prime in enumerate(primes) if is_prime]

1. Тестер на простоту Миллера-Рабина:
   Для больших чисел на помощь приходят вероятностные тесты на простоту, такие как Миллер-Рабин. Хотя иногда они могут давать ложные срабатывания, они невероятно быстры и широко используются. Вот пример реализации на Python:

from random import randint
def miller_rabin(n, k=5):
    if n < 2:
        return False
    if n < 4:
        return True
    d = n - 1
    r = 0
    while d % 2 == 0:
        d //= 2
        r += 1
    for _ in range(k):
        a = randint(2, n - 2)
        x = pow(a, d, n)
        if x != 1 and x != n - 1:
            for _ in range(r - 1):
                x = pow(x, 2, n)
                if x == n - 1:
                    break
            else:
                return False
    return True

Это лишь некоторые из множества методов поиска простых чисел. У каждого подхода есть свои плюсы и минусы, и лучший выбор зависит от конкретных требований вашего приложения.

В заключение отметим, что простые числа на протяжении веков очаровывали математиков и компьютерщиков, и с помощью этих примеров кода вы теперь готовы изучить их свойства и приложения. Приятного кодирования!