Расширенный алгоритм Евклида используется для поиска значений x и y, которые удовлетворяют уравнению ax + by = gcd(a, b), где a и b — ненулевые целые числа. Этот алгоритм является расширением алгоритма Евклида, который используется для поиска наибольшего общего делителя (НОД) двух чисел.

Вот пошаговое объяснение расширенного алгоритма Евклида:

Шаг 1. Инициализация коэффициентов
Установите начальные значения x₁ = 1, y₁ = 0, x₂ = 0 и y₂ = 1.

Шаг 2. Разделите и обновите
Поделите a на b, и пусть остаток будет равен r. Обновить a = b, b = r.

Шаг 3. Обновите коэффициенты
Обновите коэффициенты, используя формулы:
x = x₁ – (a // b) x₂
y = y₁ – (a // b)y₂

Шаг 4. Переставьте и повторите
Переставьте переменные следующим образом:
x₁ = x₂, y₁ = y₂
x₂ = x, y₂ = y

Шаг 5. Повторяйте, пока остаток не станет нулевым.
Повторяйте шаги 2–4, пока остаток r не станет нулевым.

Шаг 6: окончательный результат
Окончательные значения x и y, полученные, когда r становится нулевым, являются решениями уравнения ax + by = gcd(a, b).

Вот пример, иллюстрирующий расширенный алгоритм Евклида:

Давайте найдем значения x и y для a = 24 и b = 16.

Шаг 1. Инициализируйте коэффициенты
x₁ = 1, y₁ = 0, x₂ = 0, y₂ = 1

Шаг 2. Разделите и обновите
24, разделенные на 16, дают остаток 8. Обновите a = 16, b = 8.

Шаг 3: обновление коэффициентов
x = x₁ – (a // b) x₂ = 1 – (16 // 8)0 = 1
y = y₁ – (a // б) y₂ = 0 – (16 // 8)1 = -2

Шаг 4. Переставьте и повторите
x₁ = 0, y₁ = 1
x₂ = 1, y₂ = -2

Шаг 5: Повторяйте до тех пор, пока остаток не станет нулевым
8, разделенное на 8, дает остаток 0. Алгоритм завершает работу.

Шаг 6: окончательный результат
Значения x и y: x = 1 и y = -2, что удовлетворяет уравнению 24x + 16y = 8.