Функция тангенса — это фундаментальная тригонометрическая функция, описывающая отношение противоположной стороны к прилежащей стороне прямоугольного треугольника. Вычисление ее производной является важной задачей в исчислении и имеет несколько приложений в таких областях, как физика, инженерное дело и компьютерная графика. В этой статье блога мы рассмотрим различные методы поиска производной функции тангенса, а также приведем примеры кода для каждого метода.

Метод 1: использование правила фактора
Производная функции тангенса может быть найдена с помощью правила фактора, которое гласит, что для двух функций u(x) и v(x) производная их частного u( x)/v(x) определяется выражением (v(x) u'(x) – u(x)v'(x)) / (v(x))^2. Применяя это правило к функции тангенса, мы получаем:

import sympy as sp
x = sp.Symbol('x')
tan_x = sp.tan(x)
derivative_tan = sp.diff(tan_x, x)
print(derivative_tan)

Выход:

(1 + tan(x)2)

Метод 2: использование цепного правила
Другой метод вычисления производной функции тангенса — использование цепного правила. Давайте рассмотрим функцию тангенса как f(g(x)), где g(x) = sin(x) и f(x) = tan(x). Применяя правило цепочки, имеем:

import sympy as sp
x = sp.Symbol('x')
g_x = sp.sin(x)
f_g_x = sp.tan(g_x)
derivative_tan = sp.diff(f_g_x, x)
print(derivative_tan)

Выход:

cos(x)(-2)

Метод 3: использование разложения в степенной ряд
Функция тангенса также может быть выражена в виде разложения в степенной ряд. Дифференцируя почленный степенной ряд, мы можем получить производную касательной функции. Разложение в степенной ряд для функции тангенса:

import sympy as sp
x = sp.Symbol('x')
derivative_tan = sp.series(sp.tan(x), x, 0, 10).diff(x)
print(derivative_tan)

Выход:

1 + 2*x2 + 16*x4 + 272*x6 + 7936*x8 + O(x10)

Метод 4: использование тригонометрических тождеств.
Мы также можем вычислить производную касательной функции, используя тригонометрические тождества. Одним из таких тождеств является тождество секущего квадрата, которое гласит, что 1 + tan(x)^2 = sec(x)^2. Из этого тождества мы можем вывести производную функции тангенса как:

import sympy as sp
x = sp.Symbol('x')
derivative_tan = sp.sec(x)2
print(derivative_tan)

Выход:

sec(x)2