При работе с векторами определение угла между ними — обычная задача. Угол между векторами находит применение в различных областях, включая физику, компьютерную графику и машинное обучение. В этой статье мы рассмотрим различные методы вычисления угла между двумя векторами, предоставляя попутно простые объяснения и примеры кода.

Метод 1: скалярное произведение
Один из самых простых способов найти угол между двумя векторами — использовать скалярное произведение. Скалярное произведение двух векторов можно вычислить путем умножения соответствующих компонентов и суммирования результатов. Затем, используя скалярное произведение, мы можем вычислить угол между векторами, используя функцию обратного косинуса (arccos).

Вот пример на Python:

import math
def angle_between_vectors(v1, v2):
    dot_product = sum(x * y for x, y in zip(v1, v2))
    magnitude_v1 = math.sqrt(sum(x2 for x in v1))
    magnitude_v2 = math.sqrt(sum(x2 for x in v2))
    cosine_angle = dot_product / (magnitude_v1 * magnitude_v2)
    angle = math.acos(cosine_angle)
    return math.degrees(angle)
# Usage example
v1 = [1, 2, 3]
v2 = [4, 5, 6]
angle = angle_between_vectors(v1, v2)
print(f"The angle between v1 and v2 is: {angle} degrees")

Метод 2: перекрестное произведение
Другой подход к вычислению угла между двумя векторами заключается в использовании векторного произведения. В результате векторного произведения двух векторов получается новый вектор, перпендикулярный обоим входным векторам. Величину вектора векторного произведения можно использовать для нахождения синуса угла между исходными векторами.

Вот пример использования Python:

import math
def angle_between_vectors(v1, v2):
    cross_product = [v1[1] * v2[2] - v1[2] * v2[1], v1[2] * v2[0] - v1[0] * v2[2], v1[0] * v2[1] - v1[1] * v2[0]]
    magnitude_v1 = math.sqrt(sum(x2 for x in v1))
    magnitude_v2 = math.sqrt(sum(x2 for x in v2))
    sine_angle = math.sqrt(sum(x2 for x in cross_product)) / (magnitude_v1 * magnitude_v2)
    angle = math.asin(sine_angle)
    return math.degrees(angle)
# Usage example
v1 = [1, 2, 3]
v2 = [4, 5, 6]
angle = angle_between_vectors(v1, v2)
print(f"The angle between v1 and v2 is: {angle} degrees")

Метод 3: Тригонометрия
Мы также можем вычислить угол между двумя векторами, используя тригонометрические функции, в частности функцию арктангенса (арктан). Взяв арктанс отношения величин компонент векторов, мы можем получить угол.

Вот пример использования Python:

import math
def angle_between_vectors(v1, v2):
    magnitude_v1 = math.sqrt(sum(x2 for x in v1))
    magnitude_v2 = math.sqrt(sum(x2 for x in v2))
    angle = math.atan2(magnitude_v2, magnitude_v1)
    return math.degrees(angle)
# Usage example
v1 = [1, 2, 3]
v2 = [4, 5, 6]
angle = angle_between_vectors(v1, v2)
print(f"The angle between v1 and v2 is: {angle} degrees")

В этой статье мы рассмотрели три различных метода вычисления угла между двумя векторами: скалярное произведение, векторное произведение и тригонометрию. Каждый метод имеет свои преимущества и подходит для разных сценариев. Понимая эти методы, вы можете выбрать тот, который лучше всего соответствует вашим потребностям в различных приложениях. Помните, что эти методы можно реализовать на разных языках программирования, а не только на Python.

Используя эти расчеты, вы можете с уверенностью определить угол между любыми двумя векторами в ваших проектах, независимо от того, работаете ли вы над физическим моделированием, компьютерной графикой или алгоритмами машинного обучения.